Somme de vecteurs

Propriété Relation de Chasles

Pour tous points \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) du plan, \(\overrightarrow{\text{A}\color{red}{\text{B}}}+\overrightarrow{\color{red}{\text{B}}\text{C}}=\overrightarrow{\text{AC}}\).
Propriété Règle du parallélogramme

Soit \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) trois points non alignés du plan. 
Si le point \(\text{D}\) est tel que le quadrilatère \(\text{ABDC}\) est un parallélogramme, alors \(\overrightarrow{\color{red}{\text{A}}\text{B}}+\overrightarrow{\color{red}{\text{A}}\text{C}}=\overrightarrow{\color{red}{\text{A}}\text{D}}\).

Remarques

• Pour utiliser la relation de Chasles, l’extrémité du premier vecteur doit correspondre à l’origine du second.
  
• Pour utiliser la règle du parallélogramme, les deux vecteurs doivent avoir la même origine.

Propriétés

Soit \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs du plan. La somme de vecteurs est :

• commutative : \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\) ;
  
• associative : \((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\) ;
  

Le vecteur nul, noté  \(\vec{0}\), est l'élément neutre de la somme de vecteurs : \(\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}\).
Cela entraîne l'existence de l'opposé d'un vecteur, noté \(-\vec{u}\), de sorte que \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\).